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微分方程式と差分法
2008 / 01 / 24 ( Thu )

e-t を微分すると、-e-t になります。u e-t とすれば、u’ -e-t ですから、u’ -u になります。この式のことを微分方程式(Differential Equation)と呼びます。正確には常微分方程式(Ordinary Differential Equation)です。du/dt =-u とも書けます。

一方、差分法(Finite Difference Method)は、その英語の頭文字をとって、FDMと呼ばれ、数値流体力学や計算数理科学の基礎として広く用いられている計算手法です。いま、du/dt = -u を差分法で解いてみましょう。まずは次式を作ります。

un+1 -un)/dt = -un

ここで、n は時間ステップと呼ばれます。べき乗ではありません。この式をさらに変形して、

un+1 = un-dt un

これは、コンピュータプログラムの代入文に近い式で、n の値を1,2,3,・・・と増やしながら繰り返し計算する式です。いま、n =1 で、t = 0, u = 1 として、t  をたとえば0.9ずつ、すなわち dt = 0.9 で繰り返し計算すれば、

            n            t            u
10.90.1
21.80.01
32.70.001
43.61E-04
54.51E-05
65.41E-06
76.31E-07
87.21E-08
98.11E-09
1091E-10

となり、u がだんだんゼロに漸近していくのがわかります。もともと、u e-t でしたから、近似的にこの指数関数の解を差分法により求めることができます。ただし、注意しなければならないのは、t の値を十分大きくして、u の値が変わらなくなったところが収束した解ですので、そこに至るまでの値は正確ではなく、あまり意味がありません。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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