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特性曲線上の常微分方程式
2008 / 03 / 10 ( Mon )
特性曲線の図を簡略化して、改めて示します。

特性曲線その2

初期値上の2点を、それぞれL、Mとして、それぞれから伸びている特性方程式の根を勾配に持つ直線を図示します。
たとえば、L点から伝播した解を示す2つの直線の内、dy/dx = {B + B2 - AC1/2}/Aの勾配を、λL+ とします。これを言い換えれば、「特性曲線の勾配」です。
このような勾配を持つ特性曲線は、初期値のあらゆる点から伸びており、全空間を埋め尽くしています。
特性方程式の根とは、すなわち、特性曲線の勾配です。
xy
空間は、特性方程式の根を勾配に持つ特性曲線で埋め尽くされています。

ここからが重要ですが、そのような勾配をもった特性曲線上では、先に示した常微分方程式が成り立ちます。
たとえば、
λL+を勾配に持つ特性曲線上では、

A λL+ (dp/dx) + Cdq/dx - f λL+ = 0

が成り立ちます。
ここで紹介している偏微分方程式は、
その特性方程式の根を勾配に持つ特性曲線上で成り立つ常微分方程式を解くことで解を求めることができます。
偏微分方程式は、事実上、数値計算でしか解くことができませんが、常微分方程式でしたらば、解析的に解くこともできます。


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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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