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偏微分方程式が常微分方程式になる
2008 / 03 / 08 ( Sat )

二つの独立変数からなる2階の偏微分方程式

A2u/∂x2 +2B2u/∂xy+ C2u/∂y2 = f ( x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y )

は、特性方程式

A(dy/dx)2 - 2 B (dy/dx) + C = 0

と、次の方程式

A (dp/dx)(dy/dx) + Cdq/dx - f dy/dx = 0

が成り立つことと等価であることを紹介しました。

特性方程式の根は、

dy/dx = {B + B2 - AC1/2}/A

ならびに、

dy/dx = {B - B2 - AC1/2}/A

でしたから、係数A,B,C が定数なら、dy/dx も定数になります。

λ = dy/dx

とおけば、

A λ (dp/dx) + Cdq/dx - f λ = 0

となり、独立変数がx だけですので、この式は、常微分方程式になります。

結局、偏微分方程式が常微分方程式に簡単化されました。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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