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特性方程式
2008 / 03 / 06 ( Thu )

二つの独立変数からなる2階の偏微分方程式を一般形で定義すると、

A2u/∂x2 +2B2u/∂xy+ C2u/∂y2 = f ( x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y )

のように書くことができます。

いま、偏導関数を、

u/∂x = p, ∂u/∂y = q, ∂2u/∂x2 = r, ∂2u/(∂xy ) = s, ∂2u/∂y2 = t

 とおいて、上式に代入します。

すると、

Ar + 2Bs + Ct = f

になります。

ところで、p, q の全微分は、

dp = ∂p/∂x ・ dx + p/∂y ・ dy = r dx + s dy

dq = ∂q/∂x ・ dx + q/∂y ・ dy = s dx + t dy

で定義されますので、これらから、r t を逆算して上式に代入すると、

A(dp - sdy) /dx + 2 B s + C(dq - sdx) = f

が得られます。これをさらに s で整理すると、

s{A(dy/dx)2 - 2 B (dy/dx) + C} - { A (dp/dx)(dy/dx) + Cdq/dx - f dy/dx } = 0

となります。

この式がすべての s に対して常に成り立つためには、

A(dy/dx)2 - 2 B (dy/dx) + C = 0

でかつ、

A (dp/dx)(dy/dx) + Cdq/dx - f dy/dx = 0

でなければなりません。

前者の式のことを、特性方程式(Characteristics Equation)と呼びます。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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