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三次元熱伝導方程式をSOR法で解く(その2)
2008 / 03 / 04 ( Tue )
クランク・ニコルソン法で差分近似された式に、SOR法を適用すると、

L( Tn+1i,j,k)m+1=(1 - ω ) L(Tni,j,k)m + ω κ [x {(Tn+1i+1,j,k)m(Tn+1i-1,j,k) m+1}/2 + y{(Tn+1i,j+1,k)m (Tn+1i,j-1,k )m+1}/2+ z{(Tn+1i,j,k+1)mTn+1i,j,k-1 )m+1}/2+ di,j,k]

式が複雑になりわかりにくいですが、

di,j,k = Tni,j,k + x (Tni+1,j,k - 2Tni,j,kTni-1,j,k) 2 + y(Tni,j+1,k - 2Tni,j,k Tni,j-1,k )/2+ z(Tni,j,k+1 - 2Tni,j,k Tni,j,k-1 )/2

また、

x = ∆t/(∆x)2, ℓy = ∆t/(∆y)2, ℓz = ∆t/(∆z)2

L=1+x+y+z

式をさらに変形すると、

( Tn+1i,j,k)m+1=(Tni,j,k)m + ω κ [x {(Tn+1i+1,j,k)m(Tn+1i-1,j,k) m+1}/2L + y{(Tn+1i,j+1,k)m (Tn+1i,j-1,k)m+1}/2L+ z{(Tn+1i,j,k+1)m(Tn+1i,j,k-1)m+1}/2L+ di,j,k/L - (Tni,j,k)m]

となり、SOR法で反復計算しながらTn+1i,j,k を求める陰解法の差分計算式の形ができます。
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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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