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クランク・ニコルソン法は逆行列計算
2008 / 02 / 23 ( Sat )

熱伝導方程式

u/∂t = κ 2u/∂x2

をクランク・ニコルソン法により差分近似すると

un+1unj )/t = κ {(un+1 -2un un-1 ) / (x )2 + (un+1+1 -2un+1 un+1-1 ) / (x )2}/2

でした。いま、=κt/ (x )2 とおいて式を変形すると、

-un+1-1 /2+ (1+ℓ)un+1  + un+1+1 /2 = un-1 /2+ (1-ℓ)un  + un+1 /2

となります。

この式の右辺は、すでに既知の値です。既知量を簡単な記号に置き換えて、この式をよりわかりやすくすると、

a un+1-1 + b un+1  + c un+1+1  = d

ただし、右辺は格子点 j ごとに値が違いますので、右辺のみ d  とします。

この式は、

         ・

         ・

         ・
a u
n+1-2
+ b un+1 -1 + c un+1j   = d
-1

a un+1-1 + b un+1  + c un+1+1  = d

a un+1j  + b un+1 +1 + c un+1+2  = d +1

         ・

         ・

         ・

のように、格子点の数だけある連立1次方程式であることがわかります。 したがって、1次元熱伝導方程式にクランク・ニコルソン法を適用した差分近似式は、この連立1次方程式を解けば計算することができます。

連立1次方程式を解くとは、係数 a, b, cからなる行列Aと、既知量d  からなるベクトルから、un+1 からなるベクトルを求めることに等しいですから、結局、行列Aの逆行列を計算することに帰着されます。


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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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