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フォン・ノイマンの線形安定性理論
2008 / 02 / 21 ( Thu )

フォン・ノイマン(von Naumann)の線形安定性理論については、以前その名前だけ紹介しました。

「熱伝導方程式を解く」や「クランク・ニコルソン法」では、1次元熱伝導方程式を陽解法で解くとき、t をある値より大きくすると数値振動が発生することを示しました。

ここでは、その理由をフォン・ノイマンの線形安定性理論から簡単に説明します。

いま、熱伝導方程式を

u/∂t = κ 2u/∂x2

とします。陽解法で差分近似した式は、

un+1j = un + κ t (un+1 -2unun-1 ) / ( x )2

のようになります。なお、先の説明のため、x 方向の格子点番号には、j を使用します。

フォン・ノイマンの線形安定性理論では、時間ステップnにおける格子点 j の解unが、有限の振幅を持った任意の位相の三角関数成分で与えられると仮定します。

すなわち、

un  = Gn exp( j i θ)

と定義されます。ただし、G=G(θ )は振幅で、増幅係数(amplitude factor)と呼ばれます。また、Gについている n は、べき乗です。θ =π / s ( s=±1, ±2, ±3, ±4,・・・)。i は虚数単位(-1の平方根 )。これを、差分近似式に代入すると、

G =1-2κ t (1-cos θ )/ ( x )

が得られます。フォン・ノイマンの線形安定性理論では、G の絶対値が、1より小さければ線形安定となります。したがって、

κ t /( x )1/2

であれば、上記熱伝導方程式の陽解法は、線形安定となります。この値が、1/2を超えてしまうと、「熱伝導方程式を解く」で紹介したような数値振動が発生していまします。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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