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3次元ポテンシャル流れをSOR法で解く
2008 / 02 / 18 ( Mon )

ポテンシャル流れが、ラプラス方程式を解いて求められることを紹介しました。
ここでは具体的に、三次元のポテンシャル流れにSOR法を適用した際の式を導出します。

まず、ポテンシャル
φ の三次元ラプラス方程式は、

2φ /∂x2 + ∂2φ /∂y2 + ∂2φ /∂z2 = 0

になります。ただし、流速u, v, w はポテンシャルφ  

u = ∂φ /∂x , v = ∂φ /∂y , w = ∂φ /∂z

 のように定義されます。もともとこれを連続の式に代入すればラプラス方程式が得られます。

三次元ラプラス方程式を差分近似すると

(φi+1,j,k - 2φi,j,kφ i-1,j,k) / (∆x)2

+ (φi,j+1,k - 2φi,j,kφ i,j-1,k ) / (∆y)2

+ (φi,j,k+1 - 2φi,j,kφi,j,k-1 ) / (∆z)2= 0

のように多少長い式になります。z方向に新たに計算格子点k を用います。

これまでは、
∆x
, ∆yを簡単にして式を導出してきましたが、ここではこれらの値に忠実に式を導出します。

上記の式を、
φi,j,k の式に変形すれば、

φi,j,k = {(φi+1,j,kφ i-1,j,k) / (∆x)2 + (φi,j+1,kφ i,j-1,k ) / (∆y)2

+ (φi,j,k+1φi,j,k-1 ) / (∆z)2}/{2/(∆x)2+2/(∆y)2+2/(∆z)2}

のようになります。さらにSOR法を適用すれば、

φn+1i,j,k (1 - ω )φni,j,k+ω{(φni+1,j,kφn+1 i-1,j,k) / (∆x)2

+ (φni,j+1,kφn+1 i,j-1,k ) / (∆y)2 + (φni,j,k+1φn+1i,j,k-1 ) / (∆z)2}

/{2/(∆x)2+2/(∆y)2+2/(∆z)2}

となります。

この式を反復計算することにより、三次元ポテンシャル流れを数値計算することができます。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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