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ラプラス方程式を手計算で解く(その4)
2008 / 02 / 13 ( Wed )

格子点(1,2), (2,2), (3,2) における差分近似式はそれぞれ、

-4u1,2+ u1,3u1,1 + 2u2,2 = 0

u3,2u1,2 + u2,3u2,1  - 4 u2,2 = 0

- 4u3,2+ u3,3u3,1 + 2u2,2 = 0  

のように求められました。

ところで、格子点(1,3),(2,3),(3,3)では、u = 1、格子点(1,1),(2,1),(3,1)では、u = 0 でしたから、

-4u1,21 + 0 + 2u2,2 = 0

u3,2u1,2 1 +0  - 4 u2,2 = 0

- 4u3,21 +0 + 2u2,2 = 0

となります。

結局、これら3つの式からなる連立1次方程式を解けば、

u1,2 = u2,2 = u3,2 = 0.5

となり、ラプラス方程式を手計算で解くことができました。

このことからわかりますが、ラプラス方程式の差分法による数値計算は、それをひも解いていけば、未知のu がある点の数だけの連立1次方程式の計算に最終的には帰着されます。言い方を変えれば、連立1次方程式から構成される行列の逆行列を求めることと同意義です。

ここでの問題はたった9点の差分計算でしたが、考え方は点の数が1億点になってもまったく同じです。ただし、1億点では手計算できませんので、代わりにコンピュータに計算を任せることになります。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

18:18:51 | 計算数理科学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
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