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ラプラス方程式を差分法で解く
2008 / 02 / 06 ( Wed )

「ラプラス方程式の解析解」で紹介したラプラス方程式を差分法で解いてみましょう。

ラプラス方程式は、

2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0

で与えられます。これを中心差分で近似しますと、

(u|x+dx 2u|x u|x-dx ) / ( x )2 + (u|y+dy 2u|y u|y-dy ) / ( y)2 = 0

のようになります。簡単のため、x = y して、この式をさらに変形すると、

u|x (u|x+dxu|x-dx u|y+dyu|y-dy ) / 4

が得られます。これは、自分自身の値を隣接する4点を足して4で割って求めるという単純な計算式です。さらに反復計算を施せば、

un+1|x (un|x+dxun|x-dx un|y+dyun|y-dy ) / 4

のようになります。

いま、「ラプラス方程式の解析解」のところで紹介した問題の底辺の境界条件をf ( x )=1として実際に反復計算をしますと次のような計算結果を得ることができます。

ラプラス計算結果

計算に使用している計算点の数が、10x10=100点と少ないために、解が多少波打っている部分もありますが、比較的簡単に答えを求めることができます。

計算にはExcelを使用しました。若干のマクロプログラムとともにシート上の計算だけで、Excelでもラプラス方程式を差分法で解くことができます。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

21:34:51 | 計算数理科学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
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