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偏微分方程式の型の分類
2008 / 02 / 04 ( Mon )

これまでに、移流方程式、拡散方程式、そしてナビエ・ストークス方程式と偏微分方程式を紹介しました。これらの偏微分方程式はその特徴から、大きく3種類に分類できます。

いま、次の二次元一般形で表された2階の偏微分方程式を考えます。

A2u/∂x2 +2B2u/∂xy+ C2u/∂y2 = f ( x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y )

ここで、A, B,ならびに C は高々x,y の関数で、右辺のf は高々1階の偏導関数からなる関数とします。

D = B2 - AC としますと、D の符号に応じて、

D > 0 なら、双曲型(Hyperbolic)

D = 0 なら、放物型(Parabolic)

D < 0 なら、楕円型(Elliptic)

という型に分類されます。なお、型の分類の詳細は少し複雑な話ですので、ここでは省略します。

それぞれの型には典型的な式の形があり、

双曲型では、

2u/∂x2 - ∂2u/∂y2 = 0

放物型では、

2u/∂x2 = ∂u/∂y

楕円型では、

2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0

などです。これらの式は標準形と呼ばれます。

 双曲型の式は、計算数理科学では波動方程式(Wave Equation)とも呼ばれます。

放物型の式はよく見ますと、yt になれば、「拡散方程式」で紹介した熱伝導方程式と同じであることがわかります。したがって、熱伝導方程式と呼ばれます。

そして、楕円型の式は、ラプラス方程式(Laplace Equation)と呼ばれます。また、この式の右辺がゼロでない場合には、ポアソン方程式(Poisson Equation)と呼ばれます。

これらの式はいずれも、物理現象を模擬する上でたいへん有用な式です。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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