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ナビエ・ストークス方程式とは
2008 / 01 / 30 ( Wed )

計算数理科学として、反応方程式、移流方程式、そして拡散方程式を紹介してきました。それでは次の方程式はどうでしょう。

 

ρ/∂t+ ∂(ρu)/∂x + ∂(ρv)/∂y + ∂(ρw)/∂z = 0 

 

 これは、三次元流れの連続の式(Continuity Equation)です。t は時間、(x,y,z)は三次元直交座標、(u,v,w)は(x,y,z)方向の流速、ρは流体の密度です。すべて、1階の偏導関数から成っており移流方程式に似ています。

 

次はどうでしょう。

 

∂(ρu)/∂t + u ∂(ρu)/∂x + v ∂(ρu)/∂y + w ∂(ρu)/∂z

                                     = -∂p/∂x +μ(∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2+ ∂2u/∂z2

 

∂(ρv)/∂t + u ∂(ρv)/∂x + v ∂(ρv)/∂y + w ∂(ρv)/∂z

                                      = -∂p/∂y +μ(∂2v/∂x2 + ∂2v/∂y2+ ∂2v/∂z2

 

∂(ρw)/∂t + u ∂(ρw)/∂x + v ∂(ρw)/∂y + w ∂(ρw)/∂z

                                     = -∂p/∂z +μ(∂2w/∂x2 + ∂2w/∂y2+ ∂2w/∂z2

 

複雑すぎてよく見れないかもしれません。これらは比較的遅い流れの運動方程式(Momentum Equations)です。三次元の場合には3つの方程式からなります。pは圧力で、μは粘性係数です。とりあえず、これまでの知識から1階と2階の偏導関数からできているのがわかります。移流方程式と拡散方程式が混ざったような形をしています。ただし、厳密には2階微分項の部分はもう少し複雑になります。これについては改めて説明いたします。

 

最後に、

∂(ρh)/∂t + u ∂(ρh)/∂x + v ∂(ρh)/∂y + w ∂(ρh)/∂z

                                     = κ(∂2T/∂x2 + ∂2T/∂y2+ ∂2T/∂z2

 

は比較的遅い流れのエネルギー方程式(Energy Equation)です。hは比エンタルピー、Tは温度、κは熱伝導係数です。これも、移流方程式と拡散方程式が混ざったような形をしているのがわかります。特に右辺は、熱伝導方程式の拡散項と同じです。

 

ここで紹介した5つの方程式は、流体力学の完成形である、三次元ナビエ・ストークス方程式(Navier-Stokes Equations, 略してN-S 式)のひとつの表記形です。いろいろな仮定の導入で、N-S式の記述方法も違ってきます。ところで、一般的に非圧縮性のN-S式とは運動方程式そのものを指すことが多いようです。

 

数値流体力学では、流体力学の基本知識は重要です。ただ、とりあえずN-S式を構成する各項、すなわち、時間微分項(TIme-derivative Term)、対流項(Convection Term)、圧力項(Pressure Term)、そして粘性項(Viscosity Term)がどのような偏導関数から成り立っているかがわかれば、数値計算することはできます。

 

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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