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偏微分方程式と常微分方程式
2008 / 01 / 27 ( Sun )

常微分方程式として、反応方程式 du/dt =-u を紹介しました。この場合の t は時間でした。数学では独立変数と呼ばれます。一方、偏微分方程式とは、英語では、Partial Differential Equation(略してPDE)で、独立変数が2つ以上の微分方程式のことをそう呼びます。たとえば、

du/dt =du/dx

は最も簡単な偏微分方程式の一つです。数値流体力学や計算数理科学の分野では、移流方程式(Convective Equation)に分類されます。

この方程式の解としては、たとえば

ux+t

があります。偏微分方程式を微分する際には、微分しようとする独立変数の項のみが微分され、それ以外のものは定数として取り扱われますので、u x  で偏微分しても t  で偏微分してもその値は同じ、すなわちこの場合には du/dt =du/dx=1になり、結局上記の移流方程式が成り立ちます。実は、独立変数x 、t からなる任意の関数(正確には偏微分を含みますので、偏導関数と呼ばれます)を、f とすれば、

u( x+t )

であれば、すべて上記の移流方程式が成り立ちます。移流方程式は、数値流体力学、特に圧縮性流れの計算手法にとって極めて重要な偏微分方程式です。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

08:27:26 | 計算数理科学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
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