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2階偏微分方程式を特性曲線法で解く(その1)
2008 / 03 / 11 ( Tue )
今日から何回かに分けて、特性曲線法(Method of Characteristic Curves)について紹介します。
特性曲線法とは、偏微分方程式を特性曲線上で解く方法です。
コンピュータが進歩した今日では、あまり使われない方法ですが、むしろコンピュータがまだなかった時代に、手計算やタイガー計算機を用いて、広く用いられていた方法です。特に双曲型偏微分方程式の特徴を理解する上で、大変役に立つ方法です。
準備として、次の図を用意します。

特性曲線法

図中には、2本の特性曲線が示されています。
まず、点Lから延びた
dy/dx = {B + B2 - AC1/2}/A を勾配に持った特性曲線をλL、点Mから延びた dy/dx = {B - B2 - AC1/2}/A を勾配に持った特性曲線をλMとします。さらに、これらの特性曲線が交差した点を、点Nとします。それぞれの特性曲線上では、図中に示したそれぞれ2つの式が成り立ちます。すなわち、
λLでは、

λL = (dy/dx)L

ならびに

AL λL (dp/dx)L + C L(dq/dx)L - fL λL = 0

λMでは、

λM = (dy/dx)M

ならびに

AM λM (dp/dx)M + C M(dq/dx)M - fMλM = 0

が成り立ちます。

これら4つの式を連立して解くことにより、解を求めることができます。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

21:21:37 | 計算数理科学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
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