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特性方程式から型の分類
2008 / 03 / 07 ( Fri )

2つの独立変数からなる2階の偏微分方程式

A2u/∂x2 +2B2u/∂xy+ C2u/∂y2 = f ( x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y )

から、特性方程式

A(dy/dx)2 - 2 B (dy/dx) + C = 0

を導出しましたが、

これは、dy/dxの2次方程式になっています。したがって、根は、

dy/dx = {B + B2 - AC1/2}/A

ならびに、

dy/dx = {B - B2 - AC1/2}/A

になります。

ところで以前、2階偏微分方程式は、楕円型、放物型、双曲型の3種類の型に分類されることを説明しました。そのときは、

D = B2 - AC としますと、D の符号に応じて、

D > 0 なら、双曲型(Hyperbolic)

D = 0 なら、放物型(Parabolic)

D < 0 なら、楕円型(Elliptic)

となることを紹介しました。

実は、このの値は上記根の平方根の中にある値です。

すなわち、D > 0なら、二つの実根、D = 0 なら、重根、D < 0 なら二つの複素根になります。

まとめますと、

二つの独立変数からなる2階偏微分方程式は、その特性方程式が、

二つの実根を持つ場合は、双曲型

重根を持つ場合は、放物型

二つの複素根を持つ場合は、楕円型

に分類されます。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

21:30:16 | 計算数理科学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
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