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Excelで2次元熱伝導方程式を解く(その1)
2008 / 02 / 28 ( Thu )
今回から何回かに分けて、2次元熱伝導方程式を Excel を用いて解く方法について紹介します。

1次元熱伝導方程式については、すでにExcelを用いて計算した例を紹介しました。1次元の場合には、画面上でExcelを手動で操作しながら簡単に計算することができます。しかしながら、2次元の場合には無理かもしれません。

そこで、簡単なマクロプログラムを追加するだけで計算できる方法について紹介します。ここでの内容は、すでに、ある学会から依頼されて執筆し掲載された原稿に基づいています。

まず、2次元熱伝導方程式を次のように定義します。

u/∂t = κ(2u/∂x2 + ∂2u/∂y2)

これを陽解法で差分近似すると、

( un+1i,juni,j)/t = κ {(ui+1.j - 2ui,jui-1,j) / (∆x)2 + (ui,j+1 - 2ui,j ui,j-1 ) / (∆y)2 }

簡単にするため、∆x = ∆y =κt/ (x )2 とおけば、

un+1i,j = uni,j + (uni+1.juni-1,j + uni,j+1uni,j-4uni,j)

のように比較的簡単な式を導出することができます。

具体的な熱伝導問題として、次の図に示す境界条件を設定します。

境界条件

クランク・ニコルソン法を、ガウス・ザイデル法やSOR法により数値計算する手法を紹介しましたが、マクロプログラムにすると結構複雑になり、Excel 本来の利点が生かせないので、ここでは最も単純な陽解法による方法を紹介していきます。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

21:31:08 | 計算数理科学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
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