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熱伝導方程式をヤコビ法で解く
2008 / 02 / 25 ( Mon ) １次元熱伝導方程式にクランク・ニコルソン法を適用した式は、 （ un+1i－uni)/∆t = κ ｛(uni+1 －2uni ＋uni-1 ) / (∆x )2 + (un+1i+1 －2un+1i ＋un+1i-1 ) / (∆x )2}/2でした。ℓ=κ∆t/ (∆x )2 として、さらに変形すると、 un+1i = ℓ(un+1i+1 －2un+1i ＋un+1i-1 ) / 2 + di ただし、 di = uni + ℓ(uni+1 －2uni ＋uni-1 ) / 2 になります。 ラプラス方程式の反復計算に用いた時間ステップ n における解は、収束解が得られるまでは意味のないものでしたが、熱伝導方程式における時間ステップ n により求まった解は実時間の解を与えています。したがって、熱伝導方程式に反復法を適用するためには、時間ステップ n とは別に、反復法のための計算ステップが必要になります。 反復法の時間ステップをm として、上記式にヤコビ法を適用すると、 (1+ ℓ)(un+1i ) m+1= ℓ{(un+1i+1 )m＋(un+1i-1 )m} / 2 + di のような式を導出できます。 di は既知量ですから、反復法の計算からは、はずされます。 un+1i の値を求めるために、m を1, 2, 3,・・・と増やして計算し、m と m+1の値が同じになったとき、その値が求まるという式です。 |
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