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熱伝導方程式をヤコビ法で解く
2008 / 02 / 25 ( Mon )

1次元熱伝導方程式にクランク・ニコルソン法を適用した式は、

un+1iuni)/t = κ {(uni+1 -2uni uni-1 ) / (x )2 + (un+1i+1 -2un+1i un+1i-1 ) / (x )2}/2

でした。=κt/ (x )2 として、さらに変形すると、

un+1i = (un+1i+1 -2un+1i un+1i-1 ) / 2 + di

ただし、

di = uni + (uni+1 -2uni uni-1 ) / 2

になります。

ラプラス方程式の反復計算に用いた
時間ステップ n における解は、収束解が得られるまでは意味のないものでしたが、熱伝導方程式における時間ステップ n により求まった解は実時間の解を与えています。したがって、熱伝導方程式に反復法を適用するためには、時間ステップ n とは別に、反復法のための計算ステップが必要になります。

反復法の時間ステップをm として、上記式にヤコビ法を適用すると、

(1+
ℓ)(un+1i ) m+1= {(un+1i+1 )m(un+1i-1 )m} / 2 + di

のような式を導出できます

di 
は既知量ですから、反復法の計算からは、はずされます。

un+1i の値を求めるために、m を1, 2, 3,・・・と増やして計算し、mm+1の値が同じになったとき、その値が求まるという式です。




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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

22:36:47 | 計算数理科学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
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