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クランク・ニコルソン法の線形安定性
2008 / 02 / 22 ( Fri )
熱伝導方程式

u/∂t = κ 2u/∂x2

にクランク・ニコルソン法を適用した場合の、線形安定限界を同様に求めてみます。

クランク・ニコルソン法により差分近似された式は、

un+1unj )/t = κ {(un+1 -2un un-1 ) / (x )2 + (un+1+1 -2un+1 un+1-1 ) / (x )2}/2

のようになります。陽解法のときと同様に、

un  = Gn exp( j i θ)

を代入して整理すれば、

G = {1-κ t(1-cosθ)/ ( x )2} / {1+κ t(1-cosθ )/ ( x )2

になります。

この式は常に1以下の値になることがわかります。すなわち、クランク・ニコルソン法は線形安定性の制約を受けない、すなわち無条件安定な方法であることがわかります。

κ xは定数値ですから、t の値が無限大にまで大きくできるということになりますが、実際には、初期値や境界条件の制約により無限大にとれるわけではありません。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

21:47:35 | 計算数理科学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
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