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クランク・ニコルソン法
2008 / 02 / 20 ( Wed )
「熱伝導方程式を解く」では、差分法による計算式を紹介しました。

熱伝導方程式をもう一度示せば、

 ∂u/∂t = κ 2u/∂x2

のようになります。

これを差分近似すれば、


un+1iuni)/t = κ (uni+1 -2uni uni-1 ) / (x )2

となり、さらに、

un+1i = uni + κ t (uni+1 -2uni uni-1 ) / ( x )2

のように変形することができます。

「熱伝導方程式を解く」では、この式を具体的に表計算ソフトで解きました。
また、計算結果をグラフで可視化しました。そのとき、
t をある値より大きくすると、数値振動が発生することを示しました。

n+1時間ステップの値を、
n 時間での値のみから計算する方法のことを、陽解法(Explicit Method)と呼びます。線形安定性理論から、陽解法には安定限界があることが証明されており、上記式の場合には、κ t /( x )2 が0.5 を超えると安定限界を超えて数値振動が発生するこが知られています。「熱伝導方程式を解く」で発生した数値振動は、まさにこれに該当します。

熱伝導方程式の安定限界を緩和する方法として、クランク・ニコルソン法(Crank-Nicolson Metho)が知られています。この方法では、熱伝導方程式を次の式のように差分近似します。

un+1iuni)/t = κ {(uni+1 -2uni uni-1 ) / (x )2 + (un+1i+1 -2un+1i un+1i-1 ) / (x )2}/2

これは、2階偏導関数
2u/∂x2を、n時間ステップとn+1時間ステップで差分近似して、それらを平均するという式です。ところで、このようにn+1時間ステップの値を計算するために、n+1時間ステップの値が必要にある方法のことを、陰解法(Implicit Method)と呼びます。たとえば、ガウス・ザイデル法の陰解法になります。

陰解法である
クランク・ニコルソン法を用いることにより、熱伝導方程式は理論的に無条件安定に計算することができます。t をいくらでも大きく取れるということを意味します。ただし、実際には境界条件や多次元化などによる制約から、t を無限大にできるというわけではありません。


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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

21:59:19 | 計算数理科学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
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