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ヤコビ法
2008 / 02 / 15 ( Fri )
ラプラス方程式の差分近似式については、すでに「ラブラス方程式を差分法で解く」のところで紹介しました。 いま、任意の計算格子点 i, j に対して、改めて差分近似式を定義すれば、

(ui+1.j - 2ui,jui-1,j) / (∆x)2 + (ui,j+1 - 2ui,j ui,j-1 ) / (∆y)2 = 0

と記述することができます。ここで、∆x = ∆y とすれば、結局、

ui,j = (ui+1.jui-1,j + ui,j+1ui,j-1) / 4

になります。

計算格子点 i, j における ui,j は、近接する4つの計算格子点における 
ui+1.j , ui-1,j , ui,j+1 , ならびにui,j-1 を足して4で割ることにより求めるという単純な四則演算式です。

この式にさらに、時間ステップ n を当てはめた式を、

un+1i,j = (uni+1.juni-1,j + uni,j+1uni,j-1) / 4 

のように記述します。

この式は、n の値を1, 2, 3, ・・・と増やして反復計算することにより、
un+1i,j の収束解を求める式で、このような反復計算する方法のことを、反復法(Relaxation Method)と呼びます。また、この反復式は、それを考えた研究者の名前で、ヤコビ法(Jabobi Method)と呼ばれ、極めて単純な式ですが、立派な反復法のひとつです。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

21:00:56 | 計算数理科学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
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