スポンサーサイト
-- / -- / -- ( -- )
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
--:--:-- | スポンサー広告 | page top↑
ラプラス方程式を手計算で解く(その3)
2008 / 02 / 12 ( Tue )

境界から点がはみ出さないようにするためには、片側差分近似式というものを新たに導出する必要があります。

「ラプラス方程式を手計算で解く(その1)」にある図には、黒塗りの点を2つ示しており、それぞれの格子点番号は、(3-1/2,2), (1+1/2,2)と定義されています。実際にはこれらの格子点はありません。あくまでバーチャルな格子点です

たとえば、格子点(1,2)では、x方向の差分近似で片側差分する必要があります。

そのために、(1,2)における 2u/∂x2 の片側差分近似式は、まず1階の偏導関数を用いて、

(∂2u/∂x2 )1,2 ={(∂u/∂x)1+1/2,2 - (∂u/∂x)1,2}/(x/2)

のように定義できます。ここでx= 1でしたので、

(∂2u/∂x2 )1,2 =2{(∂u/∂x)1+1/2,2 - (∂u/∂x)1,2}

になります。さらに、もともと境界条件として、(∂u/∂x)1,2= 0 でしたので、

(∂2u/∂x2 )1,2 =2(∂u/∂x)1+1/2,2

になります。(∂u/∂x)1+1/2,2u の二次精度中心差分近似で

(∂u/∂x)1+1/2,2 = (u2,2 - u1,2)/x = u2,2 - u1,2

のように計算されますので、結局

(∂2u/∂x2 )1,2 =2(u2,2 - u1,2

といった、ちょっと特殊な形の片側差分近似式が導出されます。

同様に、格子点(3,2)では、

(∂2u/∂x2 )3,2 =2{(∂u/∂x)3,2 - (∂u/∂x)3-1/2,2}

となります。境界条件として (∂u/∂x)3,2= 0 が与えられていますので、

(∂2u/∂x2 )3,2 = - 2(∂u/∂x)3-1/2,2

となり、結局

(∂2u/∂x2 )3,2 = - 2(u3,2 - u2,2

が得られます。

これより、(1,2)における差分近似式は

 2(u2,2 - u1,2)+ u1,3 - 2u1,2 u1,1 = 0

となり、同じ項をまとめれば、

-4u1,2+ u1,3u1,1 + 2u2,2 = 0

が得られます。

同様に、(3,2)における差分近似式は

- 2(u3,2 - u2,2)+ u3,3 - 2u3,2 u3,1 = 0

で、これを整理すれば、

- 4u3,2+ u3,3u3,1 + 2u2,2 = 0

となります。

スポンサーサイト

テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

21:37:59 | 計算数理科学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
| ホーム |
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。