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ラプラス方程式を手計算で解く(その2)
2008 / 02 / 11 ( Mon )

ラプラス方程式を手計算で解く(その1)では、主に境界条件を設定しました。

ここでは差分近似式を導出します。

この問題で、u が未知な計算格子点は、(1,2), (2,2), (3,2) の3点です。

「ラプラス方程式を差分法で解く」では、ラプラス方程式の差分近似式を

(u|x+dx - 2u|x u|x-dx ) / ( x )2 + (u|y+dy - 2u|y u|y-dy ) / ( y)2 = 0

のように与えました。

簡単にするため、x = y = 1と仮定します。

まず、(2,2)における差分近似式を求めてみます。そのために、上記差分近似式に具体的な計算格子点番号を当てはめますと、

u3,2 - 2u2,2 u1,2+ u2,3 - 2u2,2 u2,1  = 0

が求まります。ただし、式を簡単にするため | をはずしました。

同じ項で整理すれば、

u3,2u1,2 + u2,3u2,1  - 4 u2,2 = 0

次に、(1,2)はどうでしょうか。同様に格子点番号を当てはめますと、

u2,2 - 2u1,2 u0,2+ u1,3 - 2u1,2 u1,1  = 0

と求まりました。としたいところですが、よく見ると、u0,2 は求めることができません。もとの式のu|x-dx が左辺の境界からはみ出してしまいました。

二次精度差分近似式では、いま計算しようとする点と両隣の点の値が必要になるため、いま計算しようとする点が境界上にあると、両隣のいずれかの点が境界からはみ出してしまい、差分近似ができなくなります。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

17:17:22 | 計算数理科学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
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