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ラプラス方程式を手計算で解く(その1)
2008 / 02 / 10 ( Sun )

ラプラス方程式の解析解、差分法、ならびに流れの方程式への応用などについて紹介してきました。ラプラス方程式はたいへん汎用性のある方程式で、多くの物理現象を模擬することができます。

差分法による数値計算がより身近に感じるように、手計算で解く方法を何回かに分けて紹介します。

その1として、まず具体的な問題を設定します。

次の図にあるような計算格子点がたった9点の問題を考えます。

Laplace手計算

たった9点の問題でも立派なラプラス方程式の差分計算ができます。

ラプラス方程式のような楕円型方程式の差分計算には、境界条件が欠かせません。そのため、楕円型方程式の問題は、境界値問題(Boundary Value Problem)と呼ばれます。

計算格子点にはぞれぞれ番号 i,j をつけています。ただしここでは、i = 1,2,3,  j = 1,2,3です。

境界条件として、

上辺にある、(1,3), (2,3), (3,3)には、u = 1

下辺にある、(1,1), (2,1), (3,1)には、u = 0

を与えます。このように未知変数であるu そのものを規定する境界条件のことを第一種境界条件、もしくは考えた研究者の名前で、ディリクレ境界条件(Dirichlet's Boundary Condition)と呼びます。これらの点の値はすでに求まっていますから、改めて計算する必要はありません。

一方、左辺と右辺にある、(1,2) ならびに( 3,2)には、

u/∂x = 0

を与えます。このように未知変数であるu の1階偏微分を規定する境界条件のことを第二種境界条件、もしくは考えた研究者の名前で、ノイマン境界条件(Neumann's Boundary Condition)と呼びます。Neumannとは、先に紹介したvon Neumannです。これら2点では、u 自体の値は未知ですので計算により求める必要があります。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

18:14:31 | 計算数理科学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
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