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ラプラス方程式の解析解
2008 / 02 / 05 ( Tue )

楕円型方程式の標準形であるラプラス方程式の解析解を求めてみましょう。

 

いま、次の図で示した正方形領域について、各辺にそれぞれ境界条件を与えます。

 

Laplace.png

 

 この問題は、典型的な偏微分方程式の計算問題ですが、変数分離法と呼ばれる方法により、解析解を求めることができます。計算の詳細についてはここでは省略します。詳細が知りたいときは、既存の偏微分方程式に関する教科書にはどれにでも同じことが書かれていますので、参照してください。

 

結局のところ、導出された解析解は次のようになります。

 

u (x,y)=2∑sinh((y-1))/sinh(-)*sin(nπx)∫f(z)sin(nπz)dz

 

ただし、∑ は、n = 1 から までの和、∫は、z = 0 から1までの積分です。また、

 

sinh(y) = ( ey - e-y )/2

 

です。かなり複雑な式になっていますが、上記の図に示した領域内の任意の点の解が求まりますので、たいへんエレガントな式です。

 

このように、ラプラス方程式の解析解は紙と鉛筆があれば求めることができます。ただし、仮に上記の図で示した境界条件のu = 0 のひとつでも0以外の値にしますと、途端に解析解を求めるのが極端にむずかしくなります。もしくは、もはや求めること自体できまくなります。そのときは、数値計算により求めるしかなくなります。

 

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

20:50:21 | 応用数学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
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