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2つの反応方程式
2008 / 01 / 26 ( Sat )

反応方程式を2つ同時に解いて、2つの物質の化学反応を模擬してみましょう。
いま、物質 u v があるとします。化学反応により、物質 u が物質 に変化する数理モデルは、次の2つの反応方程式で簡単に模擬することができます。

du/dt = -vu

dv/dt = uv

これらから、「微分方程式と差分法」で説明したように、差分法により、

un+1 = un-dt vun

n+1 = vndt uvn

が作られます。

初期値として、t =0で、99%の物質 がu で残りの1 とすれば、dt=0.9で実際に計算すると、

     n        t     u     v
10.90.981090.01891
21.80.9643930.035607
32.70.9334870.066513
43.60.8776080.122392
54.50.7809370.219063
65.40.6269690.373031
76.30.4164780.583522
87.20.1977570.802243
98.10.0549730.945027
1090.0082170.991783

のようになります。n = 10で、u  の値がほぼ逆転しているのがわかります。この計算をさらに続けますと、u = 0、v = 1に漸近します。

化学反応を例にして説明しましたが、何でもかまいません。何かが別の何かに変化することは、世の中にたくさんあります。そのような現象や事象が、2つの反応方程式により模擬できるわけです。ただし、もう少し複雑な式になるかもしれません。

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

21:17:48 | 計算数理科学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
反応方程式
2008 / 01 / 26 ( Sat )

「微分方程式と差分法」のところで説明した常微分方程式 du/dt =-u は、数理科学の分野では、反応方程式(Reactive Equation)と呼ばれます。反応とは、まさに化学反応です。du/dt =-u t を十分大きな値にしたときゼロに漸近しますが、u が何か物質だとすれば、その物質が十分時間が経ったのちに別の物質に変化して、その物質自体はなくなってしまったことを模擬しています。その場合に、t は時間そのものです。

いま、du/dt =u とすれば、この常微分方程式の厳密解はet になりますので、t を十分大きくすると今度はu は爆発的に大きな値になります。ただし、このような化学反応はあまり現実的ではありません。爆発的に増えるものとしては、インフルエンザウイルスの増殖などが考えられます。伝染病の伝播を模擬した数理モデルもこれまでにいろいろ研究されており、この式の形が基本になります。

数理科学では、反応方程式の左辺を、時間微分項(Time-derivative term)、右辺を反応項(Reactive term)と呼びます。

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16:38:15 | 計算数理科学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
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