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ラプラス方程式の解析解
2008 / 02 / 05 ( Tue )

楕円型方程式の標準形であるラプラス方程式の解析解を求めてみましょう。

 

いま、次の図で示した正方形領域について、各辺にそれぞれ境界条件を与えます。

 

Laplace.png

 

 この問題は、典型的な偏微分方程式の計算問題ですが、変数分離法と呼ばれる方法により、解析解を求めることができます。計算の詳細についてはここでは省略します。詳細が知りたいときは、既存の偏微分方程式に関する教科書にはどれにでも同じことが書かれていますので、参照してください。

 

結局のところ、導出された解析解は次のようになります。

 

u (x,y)=2∑sinh((y-1))/sinh(-)*sin(nπx)∫f(z)sin(nπz)dz

 

ただし、∑ は、n = 1 から までの和、∫は、z = 0 から1までの積分です。また、

 

sinh(y) = ( ey - e-y )/2

 

です。かなり複雑な式になっていますが、上記の図に示した領域内の任意の点の解が求まりますので、たいへんエレガントな式です。

 

このように、ラプラス方程式の解析解は紙と鉛筆があれば求めることができます。ただし、仮に上記の図で示した境界条件のu = 0 のひとつでも0以外の値にしますと、途端に解析解を求めるのが極端にむずかしくなります。もしくは、もはや求めること自体できまくなります。そのときは、数値計算により求めるしかなくなります。

 

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20:50:21 | 応用数学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
偏微分方程式の型の分類
2008 / 02 / 04 ( Mon )

これまでに、移流方程式、拡散方程式、そしてナビエ・ストークス方程式と偏微分方程式を紹介しました。これらの偏微分方程式はその特徴から、大きく3種類に分類できます。

いま、次の二次元一般形で表された2階の偏微分方程式を考えます。

A2u/∂x2 +2B2u/∂xy+ C2u/∂y2 = f ( x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y )

ここで、A, B,ならびに C は高々x,y の関数で、右辺のf は高々1階の偏導関数からなる関数とします。

D = B2 - AC としますと、D の符号に応じて、

D > 0 なら、双曲型(Hyperbolic)

D = 0 なら、放物型(Parabolic)

D < 0 なら、楕円型(Elliptic)

という型に分類されます。なお、型の分類の詳細は少し複雑な話ですので、ここでは省略します。

それぞれの型には典型的な式の形があり、

双曲型では、

2u/∂x2 - ∂2u/∂y2 = 0

放物型では、

2u/∂x2 = ∂u/∂y

楕円型では、

2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0

などです。これらの式は標準形と呼ばれます。

 双曲型の式は、計算数理科学では波動方程式(Wave Equation)とも呼ばれます。

放物型の式はよく見ますと、yt になれば、「拡散方程式」で紹介した熱伝導方程式と同じであることがわかります。したがって、熱伝導方程式と呼ばれます。

そして、楕円型の式は、ラプラス方程式(Laplace Equation)と呼ばれます。また、この式の右辺がゼロでない場合には、ポアソン方程式(Poisson Equation)と呼ばれます。

これらの式はいずれも、物理現象を模擬する上でたいへん有用な式です。

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21:25:29 | 応用数学 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
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