スポンサーサイト
-- / -- / -- ( -- )
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
--:--:-- | スポンサー広告 | page top↑
微分方程式と差分法
2008 / 01 / 24 ( Thu )

e-t を微分すると、-e-t になります。u e-t とすれば、u’ -e-t ですから、u’ -u になります。この式のことを微分方程式(Differential Equation)と呼びます。正確には常微分方程式(Ordinary Differential Equation)です。du/dt =-u とも書けます。

一方、差分法(Finite Difference Method)は、その英語の頭文字をとって、FDMと呼ばれ、数値流体力学や計算数理科学の基礎として広く用いられている計算手法です。いま、du/dt = -u を差分法で解いてみましょう。まずは次式を作ります。

un+1 -un)/dt = -un

ここで、n は時間ステップと呼ばれます。べき乗ではありません。この式をさらに変形して、

un+1 = un-dt un

これは、コンピュータプログラムの代入文に近い式で、n の値を1,2,3,・・・と増やしながら繰り返し計算する式です。いま、n =1 で、t = 0, u = 1 として、t  をたとえば0.9ずつ、すなわち dt = 0.9 で繰り返し計算すれば、

            n            t            u
10.90.1
21.80.01
32.70.001
43.61E-04
54.51E-05
65.41E-06
76.31E-07
87.21E-08
98.11E-09
1091E-10

となり、u がだんだんゼロに漸近していくのがわかります。もともと、u e-t でしたから、近似的にこの指数関数の解を差分法により求めることができます。ただし、注意しなければならないのは、t の値を十分大きくして、u の値が変わらなくなったところが収束した解ですので、そこに至るまでの値は正確ではなく、あまり意味がありません。

スポンサーサイト

テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

23:28:01 | 数値計算 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
数値計算、実は算数
2008 / 01 / 22 ( Tue )
数値計算はやった経験がない人の方が多いでしょうが、知らないうちに数値計算の恩恵にあずかっています。その最たるものは、ゲーム。アクションゲームやシミュレーションゲームは数値計算のかたまりのようなものです。他にも、パソコン、自動車、携帯、地デジ、コンビニ、そして今書いているブログなど、それらのどこかで必ず数値計算が行われています。さらに、気象や津波予報から株価予想など身の回りに数値計算は欠かせません。

数値計算ではたしかに難しい数式が解かれるのですが、最終的にコンピュータの中ではそれらの数式は細かく分解されて四則演算になります。したがって、コンピュータがやっているのは小学校で勉強する算数レベルの計算です。ただし、その回数は1秒間に数億回から数兆回というものすごい回数です。

数値計算は、難しい数式を四則演算に噛み砕いてコンピュータに計算させるための手段です。

テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

22:05:06 | 数値計算 | トラックバック(0) | コメント(0) | page top↑
| ホーム |
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。